Практическая работа 10, часть 1

Исходные данные

Для расчётов беру параметры своего варианта:

• S = 9 — номер по списку;
• G = 32 — номер группы;
• K = 1.

По условию сначала находим:

p = 2G + 2S
m = -S - 2G

Подставляю значения:

p = 2 * 32 + 2 * 9 = 82
m = -9 - 2 * 32 = -73

Построение матрицы A

Матрица задаётся формулой:

A =
|  p/6      m/6      2S/6 |
|  m/6   (2p+S)/6   m/6  |
| 2S/6     m/6       p/6 |

После подстановки p = 82, m = -73, S = 9 получаем:

A =
|  82/6    -73/6    18/6 |
| -73/6   173/6    -73/6 |
|  18/6   -73/6     82/6 |

Если записать в десятичном виде:

A =
|  13.6667   -12.1667    3.0000 |
| -12.1667    28.8333  -12.1667 |
|   3.0000   -12.1667   13.6667 |

Поиск максимального собственного числа

Для ручной части использую метод степенных итераций. В качестве начального приближения беру вектор

Y0 = (1, 0, 0)

Первая итерация

Сначала умножаю матрицу на начальный вектор:

U0 = A * Y0 =
|  13.6667 |
| -12.1667 |
|   3.0000 |

Нормирую вектор по первой компоненте:

Y1 = (1, -0.8902, 0.2195)

Вторая итерация

U1 = A * Y1 =
|  25.1565 |
| -40.5061 |
|  16.8313 |

Оценка по отношениям компонент:

25.1565 / 1        = 25.1565
-40.5061 / -0.8902 = 45.5000
16.8313 / 0.2195   = 76.6759

Разброс ещё большой, поэтому делаю следующую итерацию:

Y2 = (1, -1.6102, 0.6691)

Третья итерация

U2 = A * Y2 =
|  35.2642 |
| -66.7333 |
|  31.7342 |

Отношения компонент:

35.2642 / 1        = 35.2642
-66.7333 / -1.6102 = 41.4451
31.7342 / 0.6691   = 47.4308

После нормировки:

Y3 = (1, -1.8924, 0.8999)

Четвёртая итерация

U3 = A * Y3 =
|  39.3904 |
| -77.6791 |
|  38.3226 |

Отношения компонент:

39.3904 / 1        = 39.3904
-77.6791 / -1.8924 = 41.0483
38.3226 / 0.8999   = 42.5855

После нормировки:

Y4 = (1, -1.9720, 0.9729)

Пятая итерация

U4 = A * Y4 =
|  40.5784 |
| -80.8639 |
|  40.2893 |

Отношения компонент:

40.5784 / 1        = 40.5784
-80.8639 / -1.9720 = 41.0053
40.2893 / 0.9729   = 41.4118

На этом шаге видно, что значения уже стабилизируются около 41. Значит, максимальное собственное число найдено достаточно точно.

Нормированный собственный вектор:

Y ≈ (1, -1.9928, 0.9929)

После округления удобно записать так:

Y ≈ (1, -2, 1)

Ответ по основной части

λmax ≈ 41
Y ≈ (1, -2, 1)

Дополнительное задание

Нужно решить систему из 6 неизвестных:

4x1 - x2 + x3 - x4 = S - G + 4K
x1 + 5x2 + x3 - x5 = S - G + K + 9
Sx1 + Gx2 + 2(S + G + K)x3 - x6 = 2(S - G)(S + G + K) + KS
-x1 + 4x4 - x5 = -10
-x2 - x4 + 4x5 - x6 = 4 - 2G
-x3 - x5 + 4x6 = 9G - S - 1

Подставляю S = 9, G = 32, K = 1:

4x1 - x2 + x3 - x4 = -19
x1 + 5x2 + x3 - x5 = -13
9x1 + 32x2 + 84x3 - x6 = -1923
-x1 + 4x4 - x5 = -10
-x2 - x4 + 4x5 - x6 = -60
-x3 - x5 + 4x6 = 278

Матричная запись системы:

A6 =
|  4  -1   1  -1   0   0 |
|  1   5   1   0  -1   0 |
|  9  32  84   0   0  -1 |
| -1   0   0   4  -1   0 |
|  0  -1   0  -1   4  -1 |
|  0   0  -1   0  -1   4 |

b6 =
|   -19 |
|   -13 |
| -1923 |
|   -10 |
|   -60 |
|   278 |

Решение системы:

x1 = 1
x2 = 2
x3 = -23
x4 = -2
x5 = 1
x6 = 64

Вывод

В этой работе я построил матрицу по параметрам варианта, вручную выполнил несколько шагов метода степенных итераций и получил оценку максимального собственного числа. Дополнительно была решена система линейных уравнений из шести неизвестных.

Итоговые результаты:

λmax ≈ 41
Y ≈ (1, -2, 1)
X = (1, 2, -23, -2, 1, 64)